Python 25行代码实现的RSA算法详解

本文实例讲述了Python 25行代码实现的RSA算法。分享给大家供大家参考，具体如下：

网络上很多关于RSA算法的原理介绍，但是翻来翻去就是没有一个靠谱的算法实现，即使有代码介绍，也都是直接调用JDK或者Python代码包中的API实现，或者即使有代码也都写得特别烂。无形中让人感觉RSA加密算法竟然这么高深，然后就看不下去了。还有我发现对于“大整数的幂次乘方取模”竟然采用直接计算的幂次的值，再取模，类似于(2 ^ 1024) ^ (2 ^ 1024)，这样的计算就直接去计算了，我不知道各位博主有没有运行他们的代码？？？知道这个数字有多大吗？这么说吧，把全宇宙中的物质都做成硬盘都放不下，更何况你的512内存的电脑。所以我说他们的代码只可远观而不可亵玩已。

于是我用了2天时间，没有去参考网上的代码重新开始把RSA算法的代码完全实现了一遍以后发现代码竟然这么少，25行就全部搞定。为了方便整数的计算，我使用了Python语言。为什么用Python？因为Python在数值计算上比较直观，而Java语言需要用到BigInteger类，数值的计算都是用方法调用，所以使用起来比较麻烦。如果有同学对我得代码感兴趣的话，先二话不说，不管3X7=22，把代码粘贴进pydev中运行一遍，是驴是马拉出来溜溜。看不懂可以私信我，我就把代码具体讲讲，如果本文章没有人感兴趣，我就不做讲解了。

RSA算法的步骤主要有以下几个步骤：

①、选择 p、q两个超级大的质数
②、令n = p * q。取 φ(n) =(p-1) * (q-1)。
③、取 e ∈ 1 < e < φ(n) ，( n , e )为公钥对
④、令 ed mod φ(n) = 1，取得d，( n , d ) 为私钥对。 利用扩展欧几里的算法进行计算。
⑤、销毁 p、q。密文 = 明文 ^ e mod n ， 明文 = 密文 ^ d mod n。利用蒙哥马利方法进行计算

代码主要涉及到三个Python可执行文件：计算最大公约数、大整数幂取模算法、公钥私钥生成及加解密。这三个文件构成了RSA算法的核心。

前方高能，我要开始装逼了。看不懂的童鞋请绕道，先去看看理论，具体内容如下：

1. 计算最大公约数
2. 超大整数的超大整数次幂取超大整数模算法（好拗口，哈哈，不拗口一点就显示不出这个算法的超级牛逼之处）
3. 公钥私钥生成

1、计算最大公约数与扩展欧几里得算法

gcd.py文件，gcd方法用来计算两个整数的最大公约数。ext_gcd是扩展欧几里得方法的计算公式。

# -*- coding: utf-8 -*-
# 求两个数字的最大公约数（欧几里得算法）
def gcd(a, b):
  if b == 0:
    return a
  else:
    return gcd(b, a % b)
'''
扩展欧几里的算法
计算 ax + by = 1中的x与y的整数解（a与b互质）
'''
def ext_gcd(a, b):
  if b == 0:
    x1 = 1
    y1 = 0
    x = x1
    y = y1
    r = a
    return r, x, y
  else:
    r, x1, y1 = ext_gcd(b, a % b)
    x = y1
    y = x1 - a / b * y1
    return r, x, y

2、大整数幂取模算法

exponentiation.py文件，主要用于计算超大整数超大次幂然后对超大的整数取模。我在网上查询到这个算法叫做“蒙哥马利算法”。

# -*- coding: utf-8 -*-
'''
超大整数超大次幂然后对超大的整数取模
(base ^ exponent) mod n
'''
def exp_mode(base, exponent, n):
  bin_array = bin(exponent)[2:][::-1]
  r = len(bin_array)
  base_array = []
  pre_base = base
  base_array.append(pre_base)
  for _ in range(r - 1):
    next_base = (pre_base * pre_base) % n
    base_array.append(next_base)
    pre_base = next_base
  a_w_b = __multi(base_array, bin_array)
  return a_w_b % n
def __multi(array, bin_array):
  result = 1
  for index in range(len(array)):
    a = array[index]
    if not int(bin_array[index]):
      continue
    result *= a
  return result

有同学就不服了，说是我为啥不把这个幂次的数字计算出来，再取模。我说这样做，理论上是对的，但是实际上行不通。因为：一个2048位的数字的2048位次的幂，计算出来了以后，这个数字很可能把全宇宙的物质都做成硬盘也放不下。不懂的童鞋请私信我。所以需要用“蒙哥马利算法”进行优化。

3、公钥私钥生成

rsa.py，生成公钥、私钥、并对信息加密解密。

# -*- coding: utf-8 -*-
from gcd import ext_gcd
from exponentiation import exp_mode
# 生成公钥私钥，p、q为两个超大质数
def gen_key(p, q):
  n = p * q
  fy = (p - 1) * (q - 1)   # 计算与n互质的整数个数 欧拉函数
  e = 3889          # 选取e  一般选取65537
  # generate d
  a = e
  b = fy
  r, x, y = ext_gcd(a, b)
  print x  # 计算出的x不能是负数，如果是负数，说明p、q、e选取失败，一般情况下e选取65537
  d = x
  # 返回：  公钥   私钥
  return  (n, e), (n, d)
# 加密 m是被加密的信息 加密成为c
def encrypt(m, pubkey):
  n = pubkey[0]
  e = pubkey[1]
  c = exp_mode(m, e, n)
  return c
# 解密 c是密文，解密为明文m
def decrypt(c, selfkey):
  n = selfkey[0]
  d = selfkey[1]
  m = exp_mode(c, d, n)
  return m
if __name__ == "__main__":
  '''公钥私钥中用到的两个大质数p,q'''
  p = 106697219132480173106064317148705638676529121742557567770857687729397446898790451577487723991083173010242416863238099716044775658681981821407922722052778958942891831033512463262741053961681512908218003840408526915629689432111480588966800949428079015682624591636010678691927285321708935076221951173426894836169
  q = 144819424465842307806353672547344125290716753535239658417883828941232509622838692761917211806963011168822281666033695157426515864265527046213326145174398018859056439431422867957079149967592078894410082695714160599647180947207504108618794637872261572262805565517756922288320779308895819726074229154002310375209
  '''生成公钥私钥'''
  pubkey, selfkey = gen_key(p, q)
  '''需要被加密的信息转化成数字，长度小于秘钥n的长度，如果信息长度大于n的长度，那么分段进行加密，分段解密即可。'''
  m = 1356205320457610288745198967657644166379972189839804389074591563666634066646564410685955217825048626066190866536592405966964024022236587593447122392540038493893121248948780525117822889230574978651418075403357439692743398250207060920929117606033490559159560987768768324823011579283223392964454439904542675637683985296529882973798752471233683249209762843835985174607047556306705224118165162905676610067022517682197138138621344578050034245933990790845007906416093198845798901781830868021761765904777531676765131379495584915533823288125255520904108500256867069512326595285549579378834222350197662163243932424184772115345
  '''信息加密'''
  c = encrypt(m, pubkey)
  print c
  '''信息解密'''
  d = decrypt(c, selfkey)
  print d

代码就是这么简单，RSA算法就是这么任性。代码去除掉没用的注释或者引用，总长度不会超过25行，有疑问的我们掰扯掰扯。

实测：秘钥长度在2048位的时候，我的thinkpad笔记本T440上面、python2.7环境的运行时间是4秒，1024位的时候是1秒。说明了RSA加密算法的算法复杂度应该是O（N^2），其中n是秘钥长度。不知道能不能优化到O（NlogN）