Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享


Posted in Python onDecember 13, 2017

1.反变换法

设需产生分布函数为F(x)的连续随机数X。若已有[0,1]区间均匀分布随机数R,则产生X的反变换公式为:

F(x)=r, 即x=F-1(r)

反函数存在条件:如果函数y=f(x)是定义域D上的单调函数,那么f(x)一定有反函数存在,且反函数一定是单调的。分布函数F(x)为是一个单调递增函数,所以其反函数存在。从直观意义上理解,因为r一一对应着x,而在[0,1]均匀分布随机数R≤r的概率P(R≤r)=r。 因此,连续随机数X≤x的概率P(X≤x)=P(R≤r)=r=F(x)

即X的分布函数为F(x)。

例子:下面的代码使用反变换法在区间[0, 6]上生成随机数,其概率密度近似为P(x)=e-x

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# probability distribution we're trying to calculate
p = lambda x: np.exp(-x)
# CDF of p
CDF = lambda x: 1-np.exp(-x)
# invert the CDF
invCDF = lambda x: -np.log(1-x)
# domain limits
xmin = 0 # the lower limit of our domain
xmax = 6 # the upper limit of our domain
# range limits
rmin = CDF(xmin)
rmax = CDF(xmax)
N = 10000 # the total of samples we wish to generate
# generate uniform samples in our range then invert the CDF
# to get samples of our target distribution
R = np.random.uniform(rmin, rmax, N)
X = invCDF(R)
# get the histogram info
hinfo = np.histogram(X,100)
# plot the histogram
plt.hist(X,bins=100, label=u'Samples');
# plot our (normalized) function
xvals=np.linspace(xmin, xmax, 1000)
plt.plot(xvals, hinfo[0][0]*p(xvals), 'r', label=u'p(x)')
# turn on the legend
plt.legend()
plt.show()

Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享

一般来说,直方图的外廓曲线接近于总体X的概率密度曲线。

2.舍选抽样法(Rejection Methold)

用反变换法生成随机数时,如果求不出F-1(x)的解析形式或者F(x)就没有解析形式,则可以用F-1(x)的近似公式代替。但是由于反函数计算量较大,有时也是很不适宜的。另一种方法是由Von Neumann提出的舍选抽样法。下图中曲线w(x)为概率密度函数,按该密度函数产生随机数的方法如下:

Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享

基本的rejection methold步骤如下:

1. Draw x uniformly from [xmin xmax]

2. Draw x uniformly from [0, ymax]

3. if y < w(x),accept the sample, otherwise reject it

4. repeat

即落在曲线w(x)和X轴所围成区域内的点接受,落在该区域外的点舍弃。

例子:下面的代码使用basic rejection sampling methold在区间[0, 10]上生成随机数,其概率密度近似为P(x)=e-x

# -*- coding: utf-8 -*-
'''
The following code produces samples that follow the distribution P(x)=e^−x 
for x=[0, 10] and generates a histogram of the sampled distribution.
'''
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
P = lambda x: np.exp(-x)
# domain limits
xmin = 0 # the lower limit of our domain
xmax = 10 # the upper limit of our domain
# range limit (supremum) for y
ymax = 1
N = 10000  # the total of samples we wish to generate
accepted = 0 # the number of accepted samples
samples = np.zeros(N)
count = 0  # the total count of proposals
# generation loop
while (accepted < N):
    # pick a uniform number on [xmin, xmax) (e.g. 0...10)
  x = np.random.uniform(xmin, xmax)
    # pick a uniform number on [0, ymax)
  y = np.random.uniform(0,ymax)
    # Do the accept/reject comparison
  if y < P(x):
    samples[accepted] = x
    accepted += 1
    count +=1
  print count, accepted
# get the histogram info
# If bins is an int, it defines the number of equal-width bins in the given range 
(n, bins)= np.histogram(samples, bins=30) # Returns: n-The values of the histogram,n是直方图中柱子的高度
# plot the histogram
plt.hist(samples,bins=30,label=u'Samples')  # bins=30即直方图中有30根柱子
# plot our (normalized) function
xvals=np.linspace(xmin, xmax, 1000)
plt.plot(xvals, n[0]*P(xvals), 'r', label=u'P(x)')
# turn on the legend
plt.legend()
plt.show()

>>>

99552 10000

Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享

3.推广的舍取抽样法

从上图中可以看出,基本的rejection methold法抽样效率很低,因为随机数x和y是在区间[xmin xmax]和区间[0 ymax]上均匀分布的,产生的大部分点不会落在w(x)曲线之下(曲线e-x的形状一边高一边低,其曲线下的面积占矩形面积的比例很小,则舍选抽样效率很低)。为了改进简单舍选抽样法的效率,可以构造一个新的密度函数q(x)(called a proposal distribution from which we can readily draw samples),使它的形状接近p(x),并选择一个常数k使得kq(x)≥w(x)对于x定义域内的值都成立。对应下图,首先从分布q(z)中生成随机数z0,然后按均匀分布从区间[0 kq(z0)]生成一个随机数u0。 if u0 > p(z0) then the sample is rejected,otherwise u0 is retained. 即下图中灰色区域内的点都要舍弃。可见,由于随机点u0只出现在曲线kq(x)之下,且在q(x)较大处出现次数较多,从而大大提高了采样效率。显然q(x)形状越接近p(x),则采样效率越高。

Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享

根据上述思想,也可以表达采样规则如下:

1. Draw x from your proposal distribution q(x)

2. Draw y uniformly from [0 1]

3. if y < p(x)/kq(x) , accept the sample, otherwise reject it

4. repeat

下面例子中选择函数p(x)=1/(x+1)作为proposal distribution,k=1。曲线1/(x+1)的形状与e-x相近。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
p = lambda x: np.exp(-x)     # our distribution
g = lambda x: 1/(x+1)      # our proposal pdf (we're choosing k to be 1)
CDFg = lambda x: np.log(x +1)  # generates our proposal using inverse sampling
# domain limits
xmin = 0 # the lower limit of our domain
xmax = 10 # the upper limit of our domain
# range limits for inverse sampling
umin = CDFg(xmin)
umax = CDFg(xmax)
N = 10000 # the total of samples we wish to generate
accepted = 0 # the number of accepted samples
samples = np.zeros(N)
count = 0 # the total count of proposals
# generation loop
while (accepted < N):
    # Sample from g using inverse sampling
  u = np.random.uniform(umin, umax)
  xproposal = np.exp(u) - 1
  # pick a uniform number on [0, 1)
  y = np.random.uniform(0, 1)
  # Do the accept/reject comparison
  if y < p(xproposal)/g(xproposal):
    samples[accepted] = xproposal
    accepted += 1
    count +=1
  print count, accepted
# get the histogram info
hinfo = np.histogram(samples,50)
# plot the histogram
plt.hist(samples,bins=50, label=u'Samples');
# plot our (normalized) function
xvals=np.linspace(xmin, xmax, 1000)
plt.plot(xvals, hinfo[0][0]*p(xvals), 'r', label=u'p(x)')
# turn on the legend
plt.legend()
plt.show()

 >>>

24051 10000

Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享

可以对比基本的舍取法和改进的舍取法的结果,前者产生符合要求分布的10000个随机数运算了99552步,后者运算了24051步,可以看到效率明显提高。

总结

以上就是本文关于Python编程产生非均匀随机数的几种方法代码分享的全部内容,希望对大家有所帮助。感兴趣的朋友可以继续参阅本站:

如有不足之处,欢迎留言指出。感谢朋友们对本站的支持!

Python 相关文章推荐
Python version 2.7 required, which was not found in the registry
Aug 26 Python
Python线程中对join方法的运用的教程
Apr 09 Python
Python探索之爬取电商售卖信息代码示例
Oct 27 Python
Python WSGI的深入理解
Aug 01 Python
Python global全局变量函数详解
Sep 18 Python
Flask实现跨域请求的处理方法
Sep 27 Python
对python 通过ssh访问数据库的实例详解
Feb 19 Python
利用python脚本如何简化jar操作命令
Feb 24 Python
Python中最大递归深度值的探讨
Mar 05 Python
python GUI库图形界面开发之PyQt5信号与槽机制、自定义信号基础介绍
Feb 25 Python
Python中glob库实现文件名的匹配
Jun 18 Python
Python可视化神器pyecharts之绘制地理图表练习
Jul 07 Python
windows下Virtualenvwrapper安装教程
Dec 13 #Python
python实现机械分词之逆向最大匹配算法代码示例
Dec 13 #Python
Python语言描述KNN算法与Kd树
Dec 13 #Python
Python xlwt设置excel单元格字体及格式
Apr 18 #Python
Python语言实现百度语音识别API的使用实例
Dec 13 #Python
Python通过matplotlib绘制动画简单实例
Dec 13 #Python
Python数据结构与算法之字典树实现方法示例
Dec 13 #Python
You might like
ThinkPHP采用原生query实现关联查询left join实例
2014/12/02 PHP
php 字符串中是否包含指定字符串的多种方法
2018/04/12 PHP
javascript 冒号 使用说明
2009/06/06 Javascript
nullJavascript中创建对象的五种方法实例
2013/05/07 Javascript
jquery实现滑动图片自己测试的例子
2013/11/05 Javascript
浅谈JS闭包中的循环绑定处理程序
2014/11/09 Javascript
浅谈jQuery hover(over, out)事件函数
2016/12/03 Javascript
JS实现简单的二元方程计算器功能示例
2017/01/03 Javascript
AngularJS实现页面定时刷新
2017/03/14 Javascript
Angular 2.x学习教程之结构指令详解
2017/05/25 Javascript
微信小程序 获取二维码实例详解
2017/06/23 Javascript
微信小程序授权获取用户详细信息openid的实例详解
2017/09/20 Javascript
微信小程序与后台PHP交互的方法实例分析
2018/12/10 Javascript
详解jQuery设置内容和属性
2019/04/11 jQuery
[05:02][DOTA2]DOTA进化论 第一期
2013/09/27 DOTA
深入理解Python中命名空间的查找规则LEGB
2015/08/06 Python
Python实现网络端口转发和重定向的方法
2016/09/19 Python
python 遍历字符串(含汉字)实例详解
2017/04/04 Python
Python学习小技巧之列表项的排序
2017/05/20 Python
python批量替换多文件字符串问题详解
2018/04/22 Python
Linux下安装python3.6和第三方库的教程详解
2018/11/09 Python
pandas DataFrame创建方法的方式
2019/08/02 Python
使用Python制作缩放自如的圣诞老人(圣诞树)
2019/12/25 Python
Python sep参数使用方法详解
2020/02/12 Python
Django 项目通过加载不同env文件来区分不同环境
2020/02/17 Python
Python替换NumPy数组中大于某个值的所有元素实例
2020/06/08 Python
毕业生自荐信的主要内容
2013/10/29 职场文书
小学英语教学反思
2014/01/30 职场文书
中学生打架检讨书
2014/02/10 职场文书
写求职信有哪些注意事项
2014/05/08 职场文书
应届硕士毕业生自荐信
2014/05/26 职场文书
代领学位证书毕业证书委托书
2014/09/30 职场文书
依法行政工作汇报材料
2014/10/28 职场文书
公务员年终个人总结
2015/02/12 职场文书
个人工作表现自我评价
2015/03/06 职场文书
宫崎骏十大动画电影,宫崎骏好看的动画电影排名
2022/03/22 日漫